久々にまた目に関することわざです。

《熱心に物を探す様子や、そのときの鋭い目つきを例えたことわざです。》

鵜（う）はアユなどを捕る魚でも使われるように、魚を捕まえるのが得意です。
また、鷹も狩猟に使われることがあるように、狩りをすることができます。
鵜や鷹がその獲物を捕まえるときの様子やその目つきに、
熱心に物を探す様子やそのときの鋭い目つきが例えられています。

ただ、熱心にものに取り組むときに使うのではなく、
主に相手の欠点や欠陥などを探すときに使われることが多いです。
最近では、人気の芸能人のスクープを狙って「鵜の目鷹の目」をした記者が走り回っています。